Resolvendo a equação de Schrödinger através da substituição direta da série de potências

Abstract

This work presents a direct and highly accurate method to solve ordinary differential equations, in particular the Schrödinger equation in one dimension, through the direct substitution of a power series solution to obtain a purely algebraical system containing the recurrence relations among the series coefficients. With these recurrence relations at hand it is possible to build an extremely simple routine using only basic arithmetic operations to find solutions of very high accuracy at a very low cost of machine resources. For the Schrödinger equation the energy eigenvalues may be estimated by a very simple method, an this estimate may be easily refined using the recurrence relations until the specified tolerance has been reached, which allows one to find high accuracy wavefunctions even for states with very high quantum numbers. ----- Este trabalho apresenta um método direto e de alta acurácia para resolver equações diferenciais ordinárias, em particular a equação de Schrödinger em uma dimensão, através da substituição direta de uma solução em série de potências para obter um sistema puramente algébrico contendo as relações de recorrência entre os coeficientes da série. De posse dessas relações de recorrência é possível construir uma rotina extremamente simples, usando somente operações aritméticas básicas, para encontrar soluções de altíssima acurácia a um custo muito reduzido de recursos de máquina. Para a equação de Schrödinger, os autovalores de energia podem ser estimados por um método simples, e a estimativa pode ser facilmente refinada com o uso das relações de recorrência até que se alcance a tolerância especificada, o que permite encontrar funções de onda de alta acurácia mesmo para estados com número quântico alto.