Isomorphismes de graphes en temps quasi-polynomial (d'après Babai et Luks, Weisfeiler-Leman...)

Abstract

Soient donnés deux graphes $Γ_1$, $Γ_2$ à $n$ sommets. Sont-ils isomorphes? S'ils le sont, l'ensemble des isomorphismes de $Γ_1$ à $Γ_2$ peut être identifié avec une classe $H π$ du groupe symétrique sur $n$ éléments. Comment trouver $π$ et des générateurs de $H$? Le défi de donner un algorithme toujours efficace en réponse à ces questions est resté longtemps ouvert. Babai a récemment montré comment résoudre ces questions -- et d'autres qui y sont liées -- en temps quasi-polynomial, c'est-à-dire en temps $\exp(O(\log n)^{O(1)})$. Sa stratégie est basée en partie sur l'algorithme de Luks (1980/82), qui a résolu le cas de graphes de degré borné. English translation: Graph isomorphisms in quasipolynomial time [after Babai and Luks, Weisfeiler--Leman,...]. Let $Γ_1$, $Γ_2$ be two graphs with $n$ vertices. Are they isomorphic? If any isomorphisms from $Γ_1$ to $Γ_2$ exist, they form a coset $H π$ in the symmetric group on $n$ elements. How can we find a representative $π$ and a set of generators for $H$? Finding an algorithm that answers such questions efficiently (in all cases) is a challenge that has long remained open. Babai has recently shown how to solve these problems and related ones in quasipolynomial time, i.e., time $\exp(O(\log n)^{O(1)})$. His strategy is based in part on an algorithm due to Luks (1980/82), who solved the case of graphs of bounded degree.