Autour d'une conjecture de Kato et Kuzumaki

Abstract

In 1986, Kato and Kuzumaki stated several conjectures in order to give a diophantine characterization of cohomological dimension of fields. In this article, we first prove a local-global principle in this context for number fields. This allows us to give a new proof of one of Kato and Kuzumaki's conjectures for totally imaginary number fields (the first proof was given by Olivier Wittenberg). Our arguments can be generalized to get results for global fields of positive characteristic. We then establish all the conjectures for the fields $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)$ and $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)((t))$. We finally prove a partial result for the field of Laurent series in two variables $\mathbb{C}((x,y))$. En 1986, Kato et Kuzumaki ont formulé des conjectures cherchant à donner une caractérisation diophantienne de la dimension cohomologique des corps. Dans cet article, nous montrons d'abord un énoncé de type principe local-global dans ce contexte pour les corps de nombres. Cela nous permet de donner une nouvelle démonstration d'une des conjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps de nombres totalement imaginaires (la première preuve étant due à Olivier Wittenberg). Nos arguments nous permettent aussi d'obtenir des résultats pour les corps globaux de caractéristique positive. Dans la suite de l'article, nous établissons toutes les conjectures de Kato et Kuzumaki pour les corps $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)$ et $\mathbb{C}(x_1,...,x_n)((t))$. Nous montrons finalement un résultat partiel pour le corps de séries de Laurent à deux variables $\mathbb{C}((x,y))$.