On rational quadratic cocycles

Abstract

Let $(V,q)$ be a non-degenerate $n$-dimensional quadratic space over the rationals of real signature $(r,s)$. For every integer $1\leq k \leq \min\{r,n-2\}$ we construct classes in the cohomology of arithmetic subgroups of $\mathrm{O}(V)$ with values in the group of codimension $k$ cycles on the quadric of isotropic lines in $V$. Generating series of images of these classes in an equivariant version of the $k$-th Chow group are shown to be Siegel modular forms of genus $k$ in the extremal cases $k=1$ and $k=r$. Soit $(V,q)$ un espace quadratique non d\'eg\'en\'er\'e de dimension $n$ sur les rationnels, de signature r\'eelle $(r,s)$. Pour tout entier $1 \leq k \leq \min\{r,n-2\}$, nous construisons des classes dans la cohomologie des sous-groupes arithm\'etiques de $\mathrm{O}(V)$ \`a valeurs dans le groupe des cycles de codimension $k$ sur la quadrique des droites isotropes dans $V$. Les s\'eries g\'en\'eratrices des images de ces classes dans une version \'equivariante du $k$-i\`eme groupe de Chow sont des formes modulaires de Siegel de genre $k$ dans les cas extr\'emaux $k=1$ et $k=r$.