Groupe de Picard de la variét\e de modules des thêta-caracteristiques des courbes planes

Abstract

Nous calculons le groupe de Picard de l'espace des modules $Θ_{\planp}(d)$ des thêta-caractéristiques des courbes planes (non forcément lisses) de degré $d$. Nous montrons que pour $d\ge 6$, le groupe de Picard de la composante paire est engendré par le fibré déterminant ${\cal{D}}$ et l'image réciproque ${\cal{L}}$, sous le morphisme support schématique, de ${\cal{O}}_{\proj}(1)$ où $\proj$ est l'espace des courbes de degré $d$ sur $\planp$. Pour $1\le d \le 4$, ce groupe est engendré uniquement par ${\cal{L}}$, le fibré déterminant étant trivial dans ces cas. Dans le groupe $\Cl$ des diviseurs de Weil, le fibré déterminant admet une racine: le fibré pfaffien ${\cal{P}}$. De plus, pour $d\geq 4$ pair, ${\cal{L}}$ aussi admet une racine dans $\Cl$. Si $d=5$, le fibré pfaffien s'étend en un fibré inversible et le groupe de Picard est engendré par ${\cal{L}}$ et ${\cal{P}}$. On verra ainsi que la composante paire de $Θ_{\planp}(d)$ est localement factoriel si et seulement si $d=1,2,3$ ou $d=5$. On obtient un résultat analogue pour la composante impaire. Ensuite, nous étudions la question d'existence d'une famille universelle sur un ouvert de l'ouvert $U$ des thêta-caractéristiques dont le faisceau sous-jacent est stable. Nous montrons que pour $d$ pair une telle famille ne peut exister, tandis que pour $d$ impair une telle famille existe, pas sur $U$ entier, mais localement dans la topologie de Zariski.