Groupes de Selmer et accouplements

Abstract

Nekovář vient de démontrer que le rang de $E(\Q)$ pour une courbe elliptique $E$définie sur $\Q$ est de même parité que la multiplicité du zéro en $s=1$ de la fonction $L_{E}$ complexe associeé à $E/\Q$, lorsque le groupe de Tate-Shafarevich est fini. La clef de la démonstration est le construction d'une forme alternée et non dégénérée sur le quotient de $S(K)$ par sa partie divisible. Pour construire le forme alternée, Nekovář reprend complètement la théorie des groupes de Selmer en utilisant la formalisme des complexes. Il obtient ainsi d'autres applicationsen théorie de Hida et autres. Nous allons faire ici cette construction en allant au plus court et de replacer ensuite ces résultats dans un contexte plus général. ----- Nekovář recently proved that the rank of $E(\Q)$ for an elliptic curve $E$ defined over $\Q$ has the same parity as the zero of the $L$-function $L_{E}$ at $s=1$, when the Tate-Shafarevitch group is finite, in agreement with the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. The key to the proof is the construction of a non-degenerate alternating form on the quotient of the Selmer group of $E$ by its divisible part. In order to construct this form, Nekovář completely redoes the theory of Selmer groups, using the formalism of complexes. He thereby obtains other applications in the theory due to Hida and others. Here we will simplify this construction and place these results in a more general context.