Séries hypergéométriques basiques, $q$-analogues des valeurs de la fonction zêta et séries d'Eisenstein

Abstract

Nous étudions la nature arithmétique de $q$-analogues des valeurs $ζ(s)$ de la fonction zêta de Riemann, notamment des valeurs des fonctions $ζ_q(s)= \sum_{k=1} ^{\infty}q^k \sum_{d\mid k} ^{}d^{s-1}$, $s=1,2,...$, o{ù} $q$ est un nombre complexe, $| q|<1$ (ces fonctions sont intimenent liées au monde automorphe). Le théorème principal de cet article montre que, si $1/q$ est un nombre entier différent de $\pm1$ et si $M$ est un nombre impair suffisamment grand, alors la dimension de l'espace vectoriel engendré sur $\mathbb Q$ par $1,ζ_q(3), ζ_q(5),..., ζ_q(M)$ est au moins $c_1\cdot\sqrt{M}$, avec $c_1=0,3358$. Ce résultat peut être considéré comme un $q$-analogue du résultat de \cite{ri, br}, qui affirme que la dimension de l'espace vectoriel engendré sur $\mathbb Q$ par $1,ζ(3),ζ(5),...,ζ(M)$ est au moins $c_2\cdot\log{M}$, avec $c_2=0,5906$. Pour les mêmes valeurs de $q$, une minoration similaire pour les valeurs $ζ_q(s)$ aux entiers $s$ pairs nous permet de redémontrer un cas particulier d'un r{é}sultat de Bertrand \cite{ber} qui affirme la transcendance sur $\mathbb{Q}$ de l'une des deux séries d'Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ pour tout nombre complexe $q$ tel que $0<| q| <1$.