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Alois Schiessl

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arXiv2026

A fixed point iteration method for the arctangent with any odd order of convergence based on sine and cosine

In this paper, we present a fixed point method for the arctangent based on sine and cosine. Let $t\in \mathbb{R}^{+}$ and $P\in \mathbb{N}$. We define: \[T\left(x\right)=x-\sum_{k=1}^{P}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2\,k-1} \left(\frac {\sin\!\left(x\right)-t\cos\!\left(x\right)} {\cos\!\left(x\right)+t\sin\!\left(x\right)} \right)^{2\,k-1}.\] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $\arctan\left(t\right)$, the sequence \[x_{n+1}=T\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $\arctan\left(t\right)$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1\right)$. The computational test we performed demonstrates the efficiency of the method. \selectlanguage{ngerman} \[\] \[\textbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung des arcustangens auf Basis von sinus und cosinus vor. Es sei $t\in \mathbb{R}^{+}$ und $P\in\mathbb{N}$. Wir definieren: \[T\left(x\right)=x-\sum_{k=1}^{P}\,\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{2\,k-1} \left(\frac {\sin\!\left(x\right)-t\cos\!\left(x\right)} {\cos\!\left(x\right)+t\sin\!\left(x\right)}\right) ^{2\,k-1}.\] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $\arctan\left(t\right)$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=T\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $\arctan\left(t\right)$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1\right)$. Anhand einer praktischen Berechnung von $\fracπ{4}$ zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[\text{Deutsche Version ab Seite 17}\]

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arXiv2026

A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

In this paper, we present a fixed point method for high-precision computation of number $π$ based on the sine function. Let $P\in \mathbb{N}$. We define the function: \[ S\left(x\right) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell}\right)\frac{\sin\left(x\right)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\,. \] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $π$, the sequence \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $π$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1\right)$. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. \[\] \[\textbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ auf Basis der sinus Funktion vor. Es sei $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren die Funktion: \[ S\left(x\right) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell}\right)\frac{\sin\left(x\right)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\;. \] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $π$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n}\right)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $π$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1\right)$. Anhand von praktischen Berechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[\text{Deutsche Version ab Seite 19}\]

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arXiv2026

A root finding method with arbitrary order of convergence

Let $a\in \mathbb{R}^{+}\backslash\left\{0\right\}$ and $M\in\mathbb{N}$. We consider the equation $t^M-a=0$, which is equivalent to $1-\frac{t^M}{a}=0\,.$ The real solution is $\sqrt[M]{a}$. In this publication, we present a method that enables the calculation of $\sqrt[M]{a}$ with arbitrary order of convergence using only polynomials. We define the fixed point function \[ F\left(x\right) =\prod_{\ell=1}^{P}\left(1+\frac{1}{\ell\cdot M}\right) \int\limits_{0}^{x}\!\left(1-{\frac{{t}^{M}}{a}}\right)^{P}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^{P}\frac{\left(-1\right)^{\,k}}{a^{\,k}}\cdot\binom{P}{k}\cdot\frac{x^{\,k\,\cdot M+1}}{k\,\cdot M+1} \] This is a polynomial of degree $\left(P\cdot M+1\right)$ with $\left(P+1\right)$ terms. The calculation of $\sqrt[M]{a}$ is thus reduced to a polynomial evaluation. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. -- Es sei $a\in \mathbb{R}^{+}\backslash\left\{0\right\}$ und $M\in\mathbb{N}$. Vorgelegt ist die Gleichung $t^M-a=0$, die äquivalent zu $1-\frac{t^M}{a}=0$ ist. Die reelle Lösung hiervon ist $\sqrt[M]{a}$. In dieser Veröffentlichung stellen wir ein Verfahren vor, das die Berechnung von $\sqrt[M]{a}$ mit beliebiger Konvergenzordnung ermöglicht und nur Polynome verwendet. Wir definieren die Fixpunktfunktion \[F\left(x\right) =\prod_{\ell=1}^{P}\left(1+\frac{1}{\ell\cdot M}\right) \int\limits_{0}^{x}\!\left(1-{\frac{{t}^{M}}{a}}\right)^{P}{\rm d}t =\sum\limits_{k=0}^{P}\frac{\left(-1\right)^{\,k}}{a^{\,k}}\cdot\binom{P}{k}\cdot\frac{x^{\,k\,\cdot M+1}}{k\,\cdot M+1} \] Das ist ein Polynom vom Grad $\left(P\cdot M+1\right)$ mit $\left(P+1\right)$ Summanden. Anhand ausgewählter Beispiele von Wurzelberechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens.

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arXiv2025

Just another method for generating series of even powers of number Pi

In our previous publication we have shown a method for calculating series of even powers of $π$ based on the product representation of the $sinc$ function. We refer the readers to [1] for more details. In this work we apply the method to the product representation of the $cosine$ function and and thereby derive nice series formulas for even powers of the number $π$, such as \[ \frac{1}{2\,!} \left(\fracπ{2}\right)^2 = \sum_{\ell_1=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2\,\ell_1-1\right)^2} \;;\quad \frac{1}{4\,!} \left(\fracπ{2}\right)^4 = \sum_{\ell_{2}=2}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_2-1\right)^2} \right)\;; \] \[ \frac{1}{6\,!}\left(\fracπ{2}\right)^6 =\sum_{\ell_{3}=3}^{\infty} \left(\sum_{\ell_{2}=2}^{\ell_{3}-1} \left(\sum_{\ell_{1}=1}^{\ell_{2}-1} \frac{1}{ \left(2\,\ell_1-1\right)^2\cdot \left( 2\,\ell_2-1\right)^2 \cdot \left(2\,\ell_3-1\right)^2} \right)\right) \] Many of these formulas do not seem to be widely known. -- In unserer früheren Publikationen haben wir ein Verfahren vorgestellt, das die Berechnung von Reihen für geradzahlige $π$-Potenzen unter Verwendung der $sinc$-Funktion ermöglicht. Wir verweisen die versierte Leserschaft auf \cite{AS} für nähere Details. In dieser Abhandlung wenden wir das Verfahren auf die Produktdarstellung der $cosinus$-Funktion an und erhalten weitere Reihendarstellungen für geradzahlige $π$-Potenzen. Die meisten der vorgestellten Reihen scheinen nicht so bekannt zu sein.

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arXiv2024

Series for even powers of Pi by generalization Euler's method for solving the Basel Problem

The purpose of this paper is to present series expansions for even powers of the number $π$. This is accomplished by generalizing Euler's method for solving the Basel Problem, which was published in 1735. We employ elementary symmetric polynomials, transform them into nested sums, and thereby derive nice series formulas for even powers of the number $π$ such as \[ \frac{π^2}{3!}= \sum_{\ell_1=1}^\infty\frac{1}{\ell_1^2} \;;\quad\quad \frac{π^4}{5!} = \sum_{\ell_2=2}^\infty \sum_{\ell_1=1}^{\ell_2-1} \frac{1}{\ell_1^2\cdot\ell_2^2} \;;\quad\quad \frac{π^6}{7!}= \sum_{\ell_3=3}^\infty \sum_{\ell_2=2}^{\ell_3-1} \sum_{\ell_1=1}^{\ell_2-1}\frac{1}{\ell_1^2\cdot\ell_2^2\cdot\ell_3^2} \;;\quad\cdots \] Many of these formulas do not seem to be widely known. -- In dieser Abhandlung stellen wir ein Verfahren vor, das die Berechnung von Reihen für geradzahlige Potenzen von $π$ ermöglicht. Die Grundidee ist eine Verallgemeinerung des Verfahrens von Euler, mit dem er 1735 das Basler Problem löste. Wir stellen elementar-symmetrische Polynome durch mehrfach verschachtelte Summen dar und leiten davon Reihen für geradzahlige Potenzen der Kreiszahl $π$ ab. Die meisten der angegebenen Reihen scheinen nicht so bekannt zu sein.

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arXiv2023

Just another solution to the Basel Problem

The Basel problem consists in finding the sum of the reciprocals of the squares of the positive integers. It was finally solved in 1735 by Leonhard Euler. In this paper, we propose a simple proof based on the Weierstrass Sine product formula and L'Hôpital's rule.

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