arXiv subjects

Melvyn El Kamel-Meyrigne

Publications and source records attributed to Melvyn El Kamel-Meyrigne.

2 recordsLinked to original sources

arXiv2025

Dualité étale à la Poitou-Tate pour les tores sur des variétés définies sur un corps fini

Let $k$ be a global field of characteristic $p>0$. Denote $Ω_k$ the set of places of $k$ and let $S$ be a non-empty subset of $Ω_k$. We consider a scheme $\mathscr{X} \rightarrow Spec(\mathcal{O}_S)$ smooth, separated, of finite type and $\mathscr{T}$ a tori defined over $\mathscr{X}$. We study the Tate-Shafarevich group given by the elements of $H^1(\mathscr{X}, \mathscr{T})$ which vanish in the group $H^1(\mathscr{X} \otimes_{\mathcal{O}_S} k_v, \mathscr{T})$ for all $v \in S$. We establish a Poitou-Tate duality for $\mathscr{T}$ which generalise the classical Poitou-Tate duality for tori for varieties defined over a finite field of arbitrary dimension. Soit $k$ un corps global de caractéristique $p>0$. Notons $Ω_k$ l'ensemble des places de $k$ et soit $S$ un sous-ensemble non vide de $Ω_k$. On considère un schéma $\mathscr{X} \rightarrow Spec(\mathcal{O}_S)$ lisse, séparé, de type fini et $\mathscr{T}$ un tore défini sur $\mathscr{X}$. On étudie le groupe de Tate-Shafarevich donné par les éléments de $H^1(\mathscr{X}, \mathscr{T})$ qui s'annulent dans les groupes $H^1(\mathscr{X} \otimes_{\mathcal{O}_S} k_v, \mathscr{T})$ pour tout $v \in S$. On établit une dualité pour $\mathscr{T}$ qui généralise la dualité de Poitou-Tate classique pour les tores à des variétés définies sur un corps fini de dimension arbitraire.

math.NT↗

arXiv2025

Finitude du groupe de Tate-Shafarevich pour les groupes de type multiplicatif constants sur des corps des fonctions

Let $k_0$ be a number field, $K$ be a finite extension of $k_0(\!(x_1,...,x_n)\!)$ and let $R$ be the integral closure of $k_0[[x_1,...,x_n]]$ in $K$. Consider a group of multiplicative type $G$ defined over $K$. We study the Tate-Shafarevich group given by elements of $H^1(K,G)$ locally trivial at completions of $K$ with respect to the points of codimension $1$ of $Spec(R)$. We show the finiteness of the Tate-Shafarevich group when $G$ comes from a group of multiplicative type $G_{k_0}$ defined over $k_0$ provided that two technical conditions are satisfied. We then prove that the Tate-Shafarevich group is trivial when the ring of integers $R$ is regular. -- Soient $k_0$ un corps de nombres, $K$ une extension finie de $k_0(\!(x_1,...,x_n)\!)$ et soit $R$ la clôture intégrale de $k_0[[x_1,...,x_n]]$ dans $K$. Soit $G$ un groupe de type multiplicatif défini sur $k_0$. On étudie le groupe de Tate-Shafarevich donné par les éléments de $H^1(K,G)$ localement triviaux aux complétions de $K$ par rapport aux points de codimension $1$ de $Spec(R)$. On établit la finitude du groupe de Tate-Shafarevich lorsque $G$ provient d'un groupe de type multiplicatif $G_{k_0}$ défini sur $k_0$ sous réserve que deux hypothèses techniques soient satisfaites. On montre que le groupe de Tate-Shafarevich est trivial lorsque l'anneau des entiers $R$ est régulier.

math.NT↗