arXiv2016
We will show the two following results: If there existe an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{α_1} \ldots p_k^{α_k}q^β$, where the $α_i$ are even, the $β$ are odd and $q \equiv 5 \mod 8$. Then there is at least one $p_i$, $1 \leq i \leq k$ that is not a square in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. More precisely there is an odd number of $p_i$ that are not squares in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. If there exist an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{α_1} \ldots p_k^{α_k}q^β$, where the $α_i$ are even, the $β$ are odd and $p_{k+1} \equiv {1\mod 8}$. Then at least one $p_i$, $1 \leq i \leq k+1$ is a non zero square in at least one $\mathbb{Z}/{p_j}\mathbb{Z}$, $1 \leq j \leq k+1$. Contains an appendix of known results. ----- Un nombre, $n$, est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres plus 1. Par exemple $6=1+2+3$. Dans ce document, les deux propositions suivantes seront démontrées: S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de décomposition en nombre premier $n=p_1^{α_1} \ldots p_k^{α_k}q^β$, où les $ α_i$ sont pairs, $β$ est impair et $q \equiv 5 \mod 8$. Alors, au moins un $p_i$, $1 \leq i \leq k$ n'est pas un carré dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. Plus précisément un nombre impair de $p_i$ ne sont pas des carrés dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de décomposition en nombre premier $n=p_1^{α_1} \ldots p_k^{α_k}q^β$, où les $α_i$ sont pairs, $β$ est impair et $p_{k+1} \equiv {1\mod 8}$. Alors au moins un $p_i$, $1 \leq i \leq k+1$ est un carré non nul dans au moins un $\mathbb{Z} / {p_j}\mathbb{Z}$, $1 \leq j \leq k+1$. Contiens une annexe contenant les résultats déjà connus et des preuves que j'en ai faites.