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The moduli space $M(c_2)$, of stable rank two vector bundles of degree one on a very general quintic surface $X\subset {\mathbb P}^3$, is irreducible for all $c_2\geq 4$ and empty otherwise.
In this paper we continue our study of the moduli space of stable bundles of rank two and degree 1 on a very general quintic surface. The goal in this paper is to understand the irreducible components of the moduli space in the first case in the "good" range, which is $c_2=10$. We show that there is a single irreducible component of bundles which have seminatural cohomology, and conjecture that this is the only component for all stable bundles.
In this note we consider the moduli space of stable bundles of rank two on a very general quintic surface. We study the potentially obstructed points of the moduli space via the spectral covering of a twisted endomorphism. This analysis leads to generically non-reduced components of the moduli space, and components which are generically smooth of more than the expected dimension. We obtain a sharp bound asked for by O'Grady saying when the moduli space is good.
Soit $X$ une hypersurface lisse de degré $δ\geq 4$ dans $\pp ^3$ telle que $Pic(X)=Z$. On désigne par $M_X(c_2)$ l'espace de modules des fibrés vectoriels sur $X$ de classes de Chern $c_1 = 0$ et $c_2$, semi-stables par rapport au diviseur hyperplan. Nous contribuons ici à la recherche de différentes composantes irréductibles pour $c_2$ petit. On prouve que pour tout entier $c_2 \geq δ^3/4 - δ^2/2$ l'espace des modules $M_X(c_2)$ contient une composante irréductible réduite de dimension attendue. En utilisant un résultat de O'Grady, on en déduit que pour tout entier $c_2$ tel que $$ {1/4}(δ^3-2δ^2) \leq c_2 \leq {1/3}(δ^3 - 9 δ^2 + 26 δ- 3) $$ l'espace $M_X(c_2)$ possède au moins deux composantes irréductibles de dimensions distinctes. Pour $δ\geq 27$, de tels entiers existent! D'autre part, on prouve que pour $c_2 > {1/12}(13 δ^3 - 24 δ^2 + 8 δ)$, le fibré général de la bonne composante de $M_X(c_2)$ que nous construisons a cohomologie naturelle. Plus généralement, on démontre que pour toute surface projective lisse $X$ telle que le fibré canonique soit de la forme $K_X = \Oo_X(k)$ où $\Oo_X(1)$ est un fibré ample, alors si $c_2$ est suffisamment grand, le fibré général de l'unique composante de $M_X(c_2)$ a la cohomologie naturelle.