Zero-cycles and rational points on some surfaces over a global function field

Abstract

Let F be a finite field of characteristic p. We consider smooth surfaces over F(t) defined by an equation f+tg=0, where f and g are forms of degree d in 4 variables with coefficients in F, with d prime to p. We prove : For such surfaces over F(t), the Brauer-Manin obstruction to the existence of a zero-cycle of degree one is the only obstruction. For d=3 (cubic surfaces), this leads to the same result for rational points. -- Soit F un corps fini de caractéristique p. Pour une surface lisse sur F(t) définie par une équation f+tg=0, où f et g sont deux formes de degré d sur F en 4 variables, avec d premier à p, nous montrons que l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse pour les zéro-cycles de degré 1 est la seule obstruction. Pour d=3 (surfaces cubiques), on en déduit le même énoncé pour les points rationnels.