arXiv2020
In 1974, D. Coray showed that on a smooth cubic surface with a closed point of degree prime to 3 there exists such a point of degree 1, 4 or 10. We first show how a combination of generisation, specialisation, Bertini theorems and large fields avoids considerations of special cases in his argument. For smooth cubic surfaces with a rational point, we show that any zero-cycle of degree at least 10 is rationally equivalent to an effective cycle. We establish analogues of these results for del Pezzo surfaces of degree 2 and of degree 1. For smooth cubic surfaces without a rational point, we relate the question whether there exists a degree 3 point which is not on a line to the question whether rational points are dense on a del Pezzo surface of degree 1. ---- Une surface cubique lisse qui possède un point fermé de degré premier à 3 possède un tel point de degré 1, 4 ou 10 (Coray, 1974). Un mélange de générisation, de spécialisation, de théorèmes de Bertini et d'utilisation des corps fertiles donne de la souplesse à sa méthode. Pour les surfaces cubiques avec un point rationnel, on montre que tout zéro-cycle de degré au moins 10 est rationnellement équivalent à un zéro-cycle effectif. On établit l'analogue de ces résultats pour les surfaces de del Pezzo de degré 2 et de degré 1. On discute l'existence de points fermés de degré 3 non alignés sur une surface cubique sans point rationnel. On la relie à la question de la densité des points rationnels sur une surface de del Pezzo de degré 1.