Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière

Abstract

Building upon the Bloch-Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree 4. As a first consequence, a geometric theorem of the second-named author implies that the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Ojanguren and the first named author implies that the integral Hodge conjecture in degree 4 fails for unirational varieties of dimension at least 6. For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fibre. En nous appuyant sur la conjecture de Bloch-Kato en K-théorie de Milnor, nous établissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 et le troisième groupe de cohomologie non ramifié à coefficients Q/Z. Ceci permet de montrer que sur un solide uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifié à coefficients Q/Z s'annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d'obtenir que dans certains cas. Ceci permet à l'inverse de déduire d'exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 peut être en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines familles à un paramètre de surfaces, on établit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l'indice de la fibre générique.