Rev\^etements cycliques qui ne sont pas stablement rationnels

Abstract

En appliquant des m\'ethodes d\'evelopp\'ees par Koll\'ar, Voisin, nous-m\^emes, Totaro, nous montrons qu'un rev\^etement cyclique de $\mathbb P_{\mathbb C}^n, n\geq 3$ de degr\'e premier $p$, ramifi\'e le long d'une hypersurface tr\`es g\'en\'erale de degr\'e $mp$ n'est pas stablement rationnel si $m(p-1) <n+1\leq mp$. En basse dimension, on retrouve le cas des rev\^etements doubles de $\mathbb P^3_{\mathbb C},$ ramifi\'es le long d'une quartique (Voisin) et des rev\^etements doubles de $\mathbb P^3_{\mathbb C}$ ramifi\'es le long d'une sextique (Beauville), et l'on obtient aussi les rev\^etements doubles de $\mathbb P^4_{\mathbb C}$ ramifi\'es le long d'une sextique. La m\'ethode produit des exemples d\'efinis sur un corps de nombres. Using the methods developed by Koll\'ar, Voisin, ourselves, Totaro, we prove that a cyclic cover of $\mathbb P^n_{\mathbb C}, n\geq 3$ of prime degree $p$ ramified along a very general hypersurface of degree $mp$ is not stably rational if $m(p-1) <n+1\leq mp$. In small dimensions, we recover double covers of $\mathbb P^3_{\mathbb C}$, ramified along a quartic (Voisin), and double covers of $\mathbb P^3_{\mathbb C}$, ramified along a sextic (Beauville), and we also find double covers of $\mathbb P^4_{\mathbb C}$, ramified along a sextic. This method also allows one to produce examples over a number field.