Z\'ero-cycles sur les surfaces de del Pezzo (Variations sur un th\`eme de Daniel Coray)

Abstract

In 1974, D. Coray showed that on a smooth cubic surface with a closed point of degree prime to 3 there exists such a point of degree 1, 4 or 10. We first show how a combination of generisation, specialisation, Bertini theorems and large fields avoids considerations of special cases in his argument. For smooth cubic surfaces with a rational point, we show that any zero-cycle of degree at least 10 is rationally equivalent to an effective cycle. We establish analogues of these results for del Pezzo surfaces of degree 2 and of degree 1. For smooth cubic surfaces without a rational point, we relate the question whether there exists a degree 3 point which is not on a line to the question whether rational points are dense on a del Pezzo surface of degree 1. ---- Une surface cubique lisse qui poss\`ede un point ferm\'e de degr\'e premier \`a 3 poss\`ede un tel point de degr\'e 1, 4 ou 10 (Coray, 1974). Un m\'elange de g\'en\'erisation, de sp\'ecialisation, de th\'eor\`emes de Bertini et d'utilisation des corps fertiles donne de la souplesse \`a sa m\'ethode. Pour les surfaces cubiques avec un point rationnel, on montre que tout z\'ero-cycle de degr\'e au moins 10 est rationnellement \'equivalent \`a un z\'ero-cycle effectif. On \'etablit l'analogue de ces r\'esultats pour les surfaces de del Pezzo de degr\'e 2 et de degr\'e 1. On discute l'existence de points ferm\'es de degr\'e 3 non align\'es sur une surface cubique sans point rationnel. On la relie \`a la question de la densit\'e des points rationnels sur une surface de del Pezzo de degr\'e 1.